![]() Weitere Aspekte der neuen diskreten Orthogonalitätzbedingung werden in der Einleitung behandelt. Wir klassifizieren und integrieren die zugehörige Laguerre-geometrische Verallgemeinerung der Schachbrettinkreisnetze. Inkreisnetzte sind durch zwei Folgen von Geraden in der Ebene mit der Kombinatorik des Quadratgitters gegeben, so dass alle elementaren Vierecke einen Inkreis besitzen. Wir geben eine Vielzahl von konkreten Beispielen an, insebesondere eine Parametrisierung durch Jacobi elliptische Funktionen.Įin besonderes Beispiel von diskreten konfokalen Koordinaten im zwei-dimensionalen Fall ist durch Inkreisnetze gegeben. Verschiedene Folgen entsprechen verschiedenen diskreten Parametrisierungen. Es wird gezeigt, dass diese diskreten konfokalen Koordinaten durch eine äquivalente geometrische Konstruktion durch Polarität in einer Folge von klassischen konfokalen Quadriken charakterisiert ist. ![]() Diese Definition führt zu einer größeren Klasse von Netzen als im ersten Ansatz und beinhaltet beliebege Umparametriesierungen. Wir übertragen diese beiden Eigenschaften auf eine weitere Definition diskreter konfokaler Koordinaten, wieder unter Verwendung der genannten neuen diskreten Orthogonalitätsbedingung. Die Koordinatenfunktionen sind explizit durch gamma-Funktionen gegeben.įür den zweiten Ansatz zeigen wir zunächst, dass klassische konfokale Koordiatensysteme bis auf Umparametrisierung entlang der Koordinatenlinien durch Orthogonalität und die Faktorsierbarkeit bereits charakterisiert sind. Die konstruierten Lösungen sind diskrete Koenigs-Netze und durch eine neue diskrete Orthogonalitätsbedingung gekennzeichnet. In dieser kumulativen Dissertation werden zwei Ansätze zur Diskretisierung konfokaler Koordinaten sowie der Zusammenhang zu Schachbrettinkreisnetzen behandelt.ĭer erste Ansatz begründet sich auf einer integrablen Diskretisierung der Euler Poisson-Darboux-Gleichung. Konfokale Quadriken bilden ein Beispiel für orthogonale Koordinatensysteme. These include discrete Lamé coefficients, discrete focal nets, discrete parallel nets, and discrete isothermicity, as well as the relation to pairs of circular and conical nets. Thus, thirdly, we classify and integrate the class of checkerboard incircular nets, which constitute the Laguerre geometric generalization of incircular nets.įurther aspects of the novel discrete orthogonality constraint are studied in the introduction of this thesis. We give several explicit examples, including parametrizations in terms of Jacobi elliptic functions.Ī particular example of discrete confocal coordinates in the two-dimensional case is closely related to incircular nets, that is, congruences of straight lines in the plane with the combinatorics of the square grid such that each elementary quadrilateral admits an incircle. ![]() Different sequences correspond to different discrete parametrizations. We show that these discrete confocal coordinate systems may equivalently be constructed geometrically via polarity with respect to a sequence of classical confocal quadrics. In comparison to the first approach, this definition results in a broader class of nets capturing arbitrary reparametrizations also in the discrete case. We use these two properties to propose another discretization of confocal coordinates, while again employing the aforementioned discrete orthogonality constraint. Secondly, we show that classical confocal coordinates and their reparametrizations along coordinate lines are characterized by orthogonality and the factorization property. The coordinate functions of these discrete confocal coordinates are explicitly given in terms of gamma functions. The constructed solutions are discrete Koenigs nets and feature a novel discrete orthogonality constraint defined on pairs of dual discrete nets, as well as a corresponding discrete isothermicity condition. In this cumulative thesis we propose two approaches to the discretization of confocal coordinates, and study the closely related checkerboard incircular nets.įirst, we propose a discretization based on factorizable solutions to an integrable discretization of the Euler-Poisson-Darboux equation. Confocal quadrics constitute a special example of orthogonal coordinate systems.
0 Comments
Leave a Reply. |